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          可是,在另一個方向,黎曼發揮了高斯的觀念;他由后者關于曲面的研究開始。高斯的曲面在任何點的曲率的度量由表達式是k=do/ds給出,在這里d是曲面的面元,do是單位球的表面面元,而單位球的極限半徑平行于面元d的極限法線。曲率的這種度量也可以用形式k=1/ρ1ρ2來表示,在這里ρ1ρ2是曲面在上述之點的主曲率半徑。其曲率的度量對所有點而言有著相同值的曲面——恒定曲率的曲面——具有特殊的興趣。在把曲面構想為無限薄的、不可膨脹的、但卻是固體的物體時,人們將發現,可以使相同曲率的曲面通過彎曲重合——例如平面紙張圍著柱面或錐面纏繞就是這樣的,但卻不能使它們與球的表面重合。在這樣變形時,甚至以弄皺的方式變形時,在曲面上所畫的圖形的成比例的部分就長度和角度來說依然是不變的,倘若我們在我們的測量中不超出曲面的兩維的話。相反地,曲面的曲率同樣不依賴于它在空間第三維中的構形,而僅僅依賴于它的內部的比例。當時,黎曼構想了概括曲率度量的概念并把它應用于三維或多維空間的觀念。與此一致,他設想具有恒定正曲率的有限無界的空間是可能的,它對應于無界但卻有限的兩維球面,而我們通常認為是無限空間的東西也許對應于曲率為零的無限平面,相似地,第三種空間也許對應于負曲率的曲面。正像在確定不變的曲率的曲面上所畫的圖形只能在這個曲面上無變形地位移(例如,球面圖形只能在它的球面上位移,或平面圖形只能在它的平面上位移)一樣,類似的條件必然地對于空間圖形和剛體也應該有效。正如亥姆霍茲詳細表明的,后者能夠在恒定曲率的空間中自由運動。恰如平面的最短的線是無限的,而在球面上作為具有確定的有限長度、閉合的和復歸為它們自己的大圓出現一樣,黎曼同樣地構想,在類似物的三維正曲率空間中,直線和平面是有限而無界的。但是,在這里存在著困難。如果我們具有關于四維空間的曲率度量的概念,那么轉移到三維空間的特例就能夠很容易合理地實行;但是,從特殊的案例向比較一般的案例的過渡包含著某種任意性,這是很自然的,不同的探究者在這里采取不同的路線(黎曼和克羅內克)。對于一維空間(任何種類的曲線)來說,曲率的度量沒有內部度量的含義,這樣的度量首先出現在與兩維圖形的關聯中,正是這個事實迫使我們詢問:某種類似的東西對于三維圖形是否有任何意義,在多大程度上有意義?我們用沒有實在的事物與之對應、至少用沒有什么事物與感覺對應的符號操作,我們錯助符號能夠證實和糾正我們的觀念,我們在這里沒有遭遇上述的幻想嗎?

        第七節

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